I Frattali - fractal geometry - la geometria dei frattali

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I FRATTALI

I frattali: la geometria della natura

di Antonio Cianci e Alessandra Di Lorenzo

Sono affascinanti come un paesaggio e più precisi di un disegno perfetto

Una delle attività principali dell'intelletto umano è quella di cercare di rappresentare la natura. Artisti e scienziati hanno cercato nei secoli, con gli strumenti delle loro discipline, di fornire una visione del mondo che fosse la più vicina possibile alla loro percezione. Nei secoli, l'arte e la scienza si sono però distaccate sempre di più nelle rispettive descrizioni del mondo. Per molto tempo gli artisti si sono concentrati sugli elementi più belli e più comuni del mondo circostante come panorami, ritratti, nature morte. Gli scienziati, all'estremo opposto, hanno definito modelli astratti che semplificavano la natura al fine di poterla descrivere con poche e, per quanto possibile, semplici regole. Con il Novecento questa tendenza si è invertita. Nuove forme d'arte si sono avvicinate alla geometria, nuove teorie matematiche e nuovi strumenti di calcolo hanno permesso di dare una rappresentazione visiva a modelli e teorie matematiche complesse, passando dalla geometria della mente a quella della natura. Ma cerchiamo di capire come questo può essere successo.

La geometria della mente

Per la maggior parte di questo secolo i termini matematica e scienza hanno designato discipline troppo distanti e complesse perché potessero essere comprese ed apprezzate dal grande pubblico. Per la maggior parte della gente la matematica è una disiplina arida, priva di ogni contatto con il mondo reale. Questa percezione deriva dai tempi di Euclide di Alessandria, il matematico greco che, intorno al 300 a.C., formalizzò la geometria così come la conosciamo e le cui idee hanno da allora dominato il pensiero occidentale. Partendo da assiomi intuitivi, come per esempio una retta possiede una lunghezza infinita, Euclide sviluppò un insieme coerente di regole logiche per descrivere punti, linee e forme semplici. La sua geometria era però un universo astratto privo di collegamenti con la realtà quotidiana: egli partì dall'intuizione e derivò tutta la sua teoria applicando la logica pura ai suoi assiomi. All'epoca infatti nessun uomo di cultura avrebbe permesso al suo intelletto compromessi con la realtà e quindi l'osservazione non ebbe mai una parte rilevante nelle teorie euclidee.

"Scienza ed arte...ci siamo abituati a vederle come poli opposti, ma non dipendono forse l'una dall'altra? Il pensatore, che cerca di comprendere I fenomeni naturali, nel tentativo di ridurre la complessità a poche leggi fondamentali, non è neanche il sognatore che si immerge nella ricchezza delle forme e vede se stesso come parte dell'eterno gioco degli eventi naturali?"

H.O. Peietgen, The beauty of fractals, 1986

La geometria della scienza

Solo all'inizio del 1600 il filosofo francese Cartesio riportò Euclide sulla terra. Per misurare lo spazio egli lo suddivise usando tre rette perpendicolari tra loro intersecate (gli assi cartesiani), consentendo di assegnare a qualsiasi oggetto esistente una posizione precisa. In questo modo tutto l'universo poteva essere descritto come un insieme ordinato. Questa visione è ora alla base della scienza moderna. L'idea di dimensioni intere è ormai così radicata che difficilmente ci si rende conto della sua carica rivoluzionaria. Prima delle sue teorie infatti, lo spazio veniva percepito in termini di oggetti ed eventi, più che di misure astratte. La visione di Cartesio venne completata il secolo seguente da Isaac Newton e dal barone Gottfried von Leibniz che, separatamente, definirono i principi del calcolo differenziale. L'idea fondamentale di Newton e Leibniz fu quella di trasformare le curve in linee rette. Leibnitz in particolare affermò che tutte le curve sono costituite da segmenti infinitamente piccoli (chiamati linee tangenti o derivate). Man mano che si ingrandisce una curva, questa diventa sempre più simile ad una retta. Il calcolo differenziale offre gli strumenti per individuare queste rette, le rette tangenti, che sono il nucleo di quasi tutte le scienze e le matematiche moderne. Al giorno d'oggi tutti, dagli architetti agli economisti, usano le tecniche di differenziazione (e il loro inverso, l'integrazione), per formulare il sistema con cui viene descritto l'universo conosciuto. L'importanza del calcolo infinitesimale è enorme. Partendo dalla teoria della gravitazione, completata da Newton proprio dopo la definizione di questi concetti, passando per la fisica e l'economia, tutto si basa sull'assunto che vuole ogni curva composta da un numero infinito di segmenti. Esistevano però alcuni punti oscuri, e da essi si sarebbe sviluppata una delle più importanti teorie matematiche del XX secolo, la geometria frattale. Ma procediamo con ordine.

La crisi della matematica classica

Nel XIX secolo la maggior parte dei matematici era ancora legata agli studi effettuati secoli prima da Euclide e alle teorie di Newton e Leibniz ed era convinta che non vi fosse più nulla da scoprire. Essi erano orgogliosi del loro dominio su tutto ciò che era strano ed irregolare; arrivarono perfino a indicare le linee curve come rette piegate. È noto però che le certezze di un'epoca rappresentano i problemi della successiva. Già nel 1875 il matematico tedesco Carl Weierstrass descrisse una curva con caratteristiche decisamente strane, considerate addirittura patologiche e sgradevoli dai suoi colleghi in quanto mettevano in discussione i concetti di distanza, di area, di spazio e di dimensione. Altri, come il tedesco Georg Cantor e il polacco Waclaw Sierpinski, ottennero linee e figure geometriche di cui non si riusciva a calcolare la lunghezza e l'area.

I frattali sono molto più che una semplice curiosità matematica: infatti essi offrono un metodo conciso per descrivere oggetti e formazioni. Molte strutture hanno una regolarità geometrica, chiamata invarianza rispetto al cambiamento di scala o autosimiglianza. Se si esaminano questi oggetti a scale diverse si incontrano sempre gli stessi elementi fondamentali.

Nel 1890 addirittura l'italiano Giuseppe Peano dimostrò che una curva continua priva di superficie può riempire una regione dello spazio. I matematici del tempo, non capendo bene la risposta, si augurarono che il problema non si ripetesse più. Ovviamente non fu così. Con l'andar del tempo, le nuove forme, patologiche e sgradevoli, vennero a creare una vera e propria "galleria di mostri". Gli studiosi, infatti, abituati allo studio di forme più semplici, dovettero abituarsi ad una nuova struttura dell'universo e, quindi, ad una nuova concezione di superficie e di dimensione e soprattutto dovettero convenire che proprio le "forme patologiche" si rivelavano giorno dopo giorno sempre più inerenti alla realtà circostante. Nel frattempo Felix Hausdorff e Abram S. Besicovitch ridefinirono addirittura il concetto di dimensione. Furono aggiunte una quarta e una quinta dimensione, dimensioni intere ancora superiori e, soprattutto, le dimensioni frazionarie, come per esempio 1.5 o 2.3, che si potevano calcolare mediante particolari algoritmi di calcolo. Ma bisognerà aspettare oltre cinquant'anni prima che qualcuno fosse in grado di dare una risposta agli interrogativi sollevati nei primi anni del secolo.

La geometria della natura

Nel 1958 il matematico francese Benoit Mandelbrot fu assunto presso il centro ricerche Tomas J. Watson di Ibm per lavorare su un progetto che studiava i sistemi per l'eliminazione del rumore che disturbava le trasmissioni digitali. Quando esaminò questo rumore, Mandelbrot scoprì che possedeva una struttura intricata per mezzo della quale la tecnologia in corso di sviluppo non sarebbe riuscita a tenere sotto controllo il problema. Si rese conto che era semplicemente impossibile controllarlo o prevederlo. Si trattava infatti di caos. La rapidità con cui Mandelbrot diede una risposta al problema del rumore non derivò però da una sua profonda conoscenza della tecnologia delle telecomiuncazioni, che lui tra l'altro non conosceva. Egli riuscì perché questo problema presentava notevoli analogie con il prezzo del cotone. Dai primi anni Cinquanta, Mandelbrot si era dedicato allo studio dei prezzi dei beni di consumo, in particolare quello del cotone, sul quale erano disponibili dati affidabili riferiti a secoli di commercio. Nei suoi studi osservò che il costo del cotone si comporta con uno strano tipo di ricorsività: le sue variazioni infatti sono molto simili sia che siano riferite ad anni sia che siano riferite a mesi o a decenni.

In pratica se si ingrandisce un grafico relativo all'andamento del prezzo del cotone nel tempo ogni parte ha all'incirca il medesimo andamento dell'intero. Mandelbrot chiamò questa somiglianza invarianza di scala. Molti altri fenomeni imprevedibili come le piene dei fiumi o l'andamento del mercato azionario presentano la stessa struttura ciclica. La parola ciclica va però intesa in una accezione differente, non nel senso classico del termine. Nella definizione di Mandelbrot sono costituite da cicli che contengono altri cicli che contengono altri e così via all'infinito, anche se nessuno dei cicli si ripete in modo esatto. Dopo aver rilevato tale comportamento, Mandelbrot iniziò a comprenderlo anche da un punto di vista matematico, ma non riusciva a convincere nessuno della validità delle sue teorie. Le sue equazioni erano troppo astratte e le sue conclusioni troppo scomode. Negli ottimisti anni Cinquanta chi poteva desiderare una teoria che sosteneva che le cose erano complesse, incontrollabili e caotiche? Fu così che per oltre un decennio le bizzarre idee di Mandelbrot rimasero solo una sua personale ossessione.

Dal punto di vista tecnico una figura non è un frattale se il suo dettaglio non è infinito: in un frattale ogni sua parte somiglia all'intero, qualunque sia la scala con cui viene visualizzato.

Nel 1968, però, le cose cambiarono. Mandelbrot aveva cominciato a studiare gli schemi ricorrenti nelle fluttuazioni del livello del Nilo, citate anche dalla Bibbia. Insieme ad un idrologo ne rilevò tutti i livelli e, terminati i suoi studi, li riunì in una serie di grafici. In più, usando le sue formule produsse degli altri grafici, falsi, che mostravano un comportamento simile a quello dei grafici reali. Quando li mostrò ad un gruppo di eminenti idrologi, nessuno fu in grado di distinguere i grafici veri da quelli falsi, mentre i grafici che erano stati preparati basandosi su modelli di calcolo tradizionale venivano immediatamente riconosciuti come falsi. Il realismo dei grafici di Mandelbrot dimostrò che si stava avvicinando a qualcosa di veramente potente per descrivere la natura così come è in realta e non così come è rappresentata nella mente dei matematici. Confortato da questi successi, egli continuò a produrre falsi grafici raffiguranti altri fenomeni caotici: prezzi del mercato azionario e dei beni, montagne e linee costiere. In tutti gli esperimenti, le caratteristiche visive delle sue immagini erano affascinanti. Come ebbe egli stesso modo di dire "prima la gente sfuggiva ai miei scritti, poi nessuno poté sfuggire ai miei grafici".

Anticipando un concetto che sarebbe diventato fondamentale nella moderna geometria frattale, Johann W. Goethe scriveva che per progredire nell'infinito bisogna esplorare il finito in tutte le dimensioni.

La geometria dell'arte

Ma il suo lavoro non finì quì. Una volta esplorati i frattali autosimiglianti con i quali descrivere la natura, Mandelbrot definì alcune procedure iterative che servivano a produrre costruzioni matematiche astratte, come i famosi insiemi che hanno preso il suo nome. Finalmente, nel 1982 pubblicò il fondamentale The Fractal Geometry of Nature coniando il termine frattale (dal latino frangere, che significa suddividere in frammenti irregolari), completando il lavoro che Weierstrass, Cantor, Sierpinski e gli altri avevano iniziato all'inizio del secolo.

Ancora prima che venissero riconosciuti dal punto di vista matematico, le immagini prodotte attraverso gli algoritmi di Mandelbrot divennero incredibilmente famose. Matematici artisti come Richard Voss, Greg Turk e Alan Norton modificarono leggermente le procedure fondamentali di Mandelbrot per creare panorami strabilianti, sia realistici sia astratti. Questo riscoperto legame tra l'arte e la matematica diede nuova vita a quest'ultima. Le teorie moderne della relatività e della meccanica quantistica, per quanto belle ed affascinanti, richiedono infatti anni di studio prima di poter essere comprese. Con la geometria frattale, invece, grazie ai computer, anche i profani sono in grado di apprezzare la più astratta immagine frattale.

Tutte le figure sono frattali

Nei primi anni Ottanta, il matematico Michael Barnsley si unì al gruppo di coloro che studiavano frattali. Appassionato fin da bambino dalle felci, osservando come ogni fronda somigliasse all'intera pianta, scrisse un semplice programma al computer che modellava questa caratteristica. L'immagine risultante era ben più realistica di quanto si aspettasse e in breve tempo divenne uno dei frattali più famosi. Ma cosa ben più importante, nel 1985 il matematico John Elton (nessun legame con il più famoso cantante) dimostrò che qualsiasi immagine può essere rappresentata tramite una classe di frattali.

Si trattava di un enorme passo avanti per una comunità che si trovava immersa in queste figure senza che però esistesse nessun legame logico tra di loro. La prima importante applicazione del loro lavoro è stata la compressione delle immagini.

Barnsley era infatti riuscito a comprimere immagini complesse in codici molto contenuti traducendole in frattali e raggiungendo in alcuni casi rapporti di compressione di oltre 10.000 a uno. La compressione frattale delle immagini implica nuove possibilità alquanto interessanti come quella di inviare animazioni video in tempo reale usando normali linee telefoniche. Ultimamente i frattali stanno conoscendo una diffusione sempre maggiore: vengono usati nelle produzioni cinematografiche per gli effetti speciali, i sistemi di rendering della computer graphic li usa per creare texture naturali, mentre scienziati e matematici ne fanno uno strumento fondamentale dei loro studi. Scienza e matematica non sono più visti come un terreno arido e privo di fascino dei secoli precedenti.

Tratto da : Mondadori Informatica S.p.A.

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